晶体学的天花板：单晶极射赤面投影的原理及应用

在材料科学体系中，晶体学是非常重要的内容，晶体结构可谓是材料的“骨骼”。一款材料是否具有优异的性能和潜力，很大程度上取决于“骨骼”是否奇特。晶体学的内容也非常丰富，主要包含基本的晶面指数，晶向指数的标定到晶带定律，菊池花样，单晶极射赤面投影等。晶体学不仅仅是材料科学的重要内容，在工程应用中也发挥着巨大的作用。在晶体学中，单晶极射赤面投影可谓是天花板的存在，这部分内容本身在论文中不多见，但却是链接整个晶体学的枢纽。

1. 单晶极射赤面投影在晶体学中的枢纽作用；

单晶极射赤面投影可以将晶面指数，晶带轴，晶面夹角有机的联系起来。晶面指数，晶带轴，晶面夹角又是极图，反极图以及衍射花样的基础。如果能够精通单晶极射赤面投影的内容，对其加以化裁和变通，整个晶体学的内容也就基本了然于胸。单晶极射赤面投影关联的整个晶体学的内容如图1所示，可以看出，单晶极射赤面投影几乎连接了所有的晶体学。因此，学好单晶极射赤面投影非常的必要。

图1 单晶极射赤面投影关联的晶体学内容

2. 单晶极射赤面投影的原理；

2.1 单晶极射赤面投影的方法

将某晶胞放在投影球中心，晶面法线与球面相交的交点－叫极点。晶向直线的垂直面扩展到与投影球相交所得的大圆,叫极线或极圆。极点与S极联结，与极圆相交的点叫做投影点。如图2所示，将晶胞放在球心，然后引各晶面的法线（图中绿线和红线）无限延伸，与球面相较于某点（A、B两极点），然后把球面的点与参考球的南极点S相连，则在赤道圆上相较于A'和B'两点，叫做A、B两极点的极射赤面投影点。极射赤面投影投影与晶面的夹角和晶带轴紧密相连。下面主要通过一个例子，让我们深刻感受一下单晶极射赤面投影的画法。

图2 立方晶胞（001）、（100）和（010）面的极射投影

举例1：立方晶系标准（001）的投影图

首先可以确定（001）极点在投影图极圆中心，其对应的大圆是基圆圆周，因此[001]为晶带轴的所有极点都在基圆圆周上，因为首先根据坐标系，确定（100）极点，由于（010） ⊥ （100），逆转90°便得（010）。（110）和（-110）也属于[001]晶带，由于（110）与（100）和（010）极点夹角分别为135°和45°，在圆周上旋转相应角度便得两个极点位置。根据象限规律可得（0-11）和（011）极点。以[010]为晶带轴的晶带位于过（100）极点和圆心的直径上，（101）（-101）属于此晶带，计算他们与（010）和（001）的夹角就可以定出他们的极点位置。[-101]过 (010)和（101）的大圆弧，[0-11]晶带过（100）和（011）极点的大圆弧，（111）同属[-101]和[0-11]晶带，所以交点就属于（111）极点。

图3 立方晶系标准（001）的投影图

由此可以看出：确定任一极点位置的要素，应从两个方面入手：a.确定所述晶带轴；b.确定此点原点和N或S极点的夹角。人工绘制一张单晶极射赤面投影是非常费时费力的，随着计算机的发展，国内外目前已经开发出了许多软件。利用这些软件可以很快的画出任何晶胞结构任何晶面的极射赤面投影图，在这里给大家推荐的是顾新福老师开发的PTCLab软件。

3. 利用单晶极射赤面计算晶面夹角并辨别相关晶带；

单晶极射赤面投影图可以反应许多晶体学的知识。从一张投影图中测算晶面夹角是非常方便的。根据单晶极射赤面投影的绘制原理，可以看出在在投影圆上，1/4圆弧代表90°，半径代表90°，1/8圆弧为45°，1/2半径同样为45°。只要测得两个晶面之间圆弧的距离或者直径上的距离，就很方便的可以计算出二者之间的夹角，从而得到晶粒之间取向差之间的计算。另外，在极射赤面投影图上，直径以及经线代表某一晶带轴，根据晶带定律，根据其中两个晶面便可直到该晶带的晶带轴。

4. 单晶极射赤面投影的特点解析；

(1) 与赤道面平行的晶面，它的极射投影必在极圆中心；

(2) 垂直于赤道面的晶面，它们的极点的投影必在极圆的圆周上；

(3) 倾斜晶面极点的投影必在极圆内，晶面法线与投影的夹角越小，则投影点距极圆中心越近。

(4) 投影图上的直线和圆弧上所有的点属于同一晶带。

(5) 每一点的位置可以根据他所属晶带以及与圆心和上下极点的所呈角度求出。

图4 {100}晶面族的单晶极射赤面投影

5. 极射投影与极图反极图的关系；

要想理清极射投影与极图和反极图的关系，首先要对二者由清晰的认识。首先，单晶极射赤面投影表示以某个面为投影中心，给出其它晶面的位置。而极图则已知某个晶面族的几个晶面的位置，求中心位置的晶面以及宏观方向对应的晶向。因此，二者之间是一个相反的过程，称之为倒置关系。如图5所示，（a）为几种典型织构的{001}极图，说明所有的点都是{001}晶面族中晶面的点，现在要求织构的类型。如果已知极射赤面投影与极图的倒置关系，则需要知道以某晶面为中心的{001}晶面的位置正好对应的极图，便可轻松求得该织构的密勒指数。以立方织构为例，可以看出（b）图中（001）极图与其对应的非常符合，因此，其密勒指数为（001）<001>。这里需要注意的是，表示织构的晶面与晶向指数必须是互质的整数。同理，其它织构都可以按照这种方法读出。

图5 Brass，Cu，S和Cube织构的{001}极图以及立方晶系的(001)单晶极射赤面投影。注意体会二者的倒置关系。

6.单晶极射赤面投影和透射斑点

透射衍射斑点是某晶带轴除去消光点的晶面所留下的斑点。一般需要正确标定出所在的晶带轴以及相关的晶面指数。单晶极射投影图上虽然不能直接给出相关的信息。但是需要提醒的是，极射赤面投影是测量晶带轴以及晶面夹角的利器。根据平行四边形原则，测出衍射点之间的夹角，再结合极射投影图，便可得到相关的晶面，再根据晶带定律，已知两个晶面，求出先关的晶带轴。

7. 单晶极射赤面投影和菊池花样；

菊池花样是EBSD和TEM中计算晶粒取向最为重要的工具，但是其理解却非常有难度。经验丰富的透射操作手虽然可以轻松的根据菊池花样看出某晶带轴，但是背后的原理则未必能够了解。如果对单晶投影由正确的理解。理解菊池花样便不再有困难。理解菊池花样最为主要的是看晶带轴中的对称性(晶面夹角)和平行线之间的距离(晶面间距)。单晶极射赤面投影可以给出晶带轴与晶面夹角的准确信息，将其与投射斑点进行对比，便可很好的理解菊池花样。